63. (CESGRANRIO – PETROBRAS – ADMINISTRADOR/2011)
(A) 59,5 e 59,5 (B) 59,5 e 60 (C) 60 e 59 (D) 60 e 59,5 (E) 60 e 60
COMENTÁRIO
Nessa questão irei direto para o cálculo, pois de começo ela é um pouco matemática elementar, mas antes de calcular a média e a mediana eu faço um embasamento.
Primeiramente a questão nos diz que 5 classes com a mesma amplitude, para facilitar os cálculos, vamos logo achar essas classes tendo como base o ponto médio, que nada mais é que uma média aritimética do limite inferior da classe com o limite superior da classe. Chamando o limite inferior da primeira classe de “x” e a amplitude de “a”, teremos o seguinte:
Para última classe, a média é 80, então temos: x+4a + x+5a/2 = 80 → 2x+9a = 160
Temos um sistema de duas equações, existem diversas maneiras de se resolver esse sistema. Farei subtraindo a segunda pela primeira. (inverto o sinal da primeira e somo). + 2x + 9a = 160 – 2x – a = -80 —————– 8a = 80 → a = 10.
Substituindo na primeira: 2x + 10 = 80 → 2x = 70 → x = 35
Até aqui foi simplesmente matemática elementar, a única coisa de estatística que era interpretar o gráfico. Partindo para estatística temos, com os dados acima, a capacidade de montar nossas classes e colocar, de acordo com o gráfico, a frequência (f) delas (dada no gráfico). Como iremos precisar mais tarde colocarei a frequência acumulada (fa) também, que é o número de casos até o limite superior de um intervalo de classe. Na prática, é a soma das frequências até o intervalo. Pois bem:
As classes são: 1ª: 35 – 45 f = 1 faa = 1 2ª: 45 – 55 f = 6 faa = 7 3ª: 55 – 65 f = 10 faa = 17 4ª:65 – 75 f = 4 faa = 21 5ª: 75 – 85 f = 2 faa = 23
Vamos ao restante:
Média, mesmo na estatística PODE SER uma média simples, como todos ouvimos falar. Se quisermos saber a média de idade dos leitores do blog temos que pegar a idade do leitor mais novo, a idade do leitor mais velho e dividirmos por dois. É uma média artimética simples. Quando é essa média simples, é mais chamado de Ponto Médio, mas a CESGRANRIO decidiu continuar chamando de média. Média na estatística geralmente considera-se a média ponderada.
Na questão poderia-se fazer a média até mesmo sem achar dado nenhum, pois a média entre as médias limites será igual a média dos limites. Compreenderam?
Poderíamos fazer: 80 + 40 / 2 → 120 / 2 = 60 ou, com os dados que encontramos: limite inferior da distribução + limite superior da distribuição/2 → 35 + 85 / 2 → 120/2 = 60.
A mediana já é uma medida de referência, equivale a divisão da distribuição em 50% dos casos. Voltando ao caso dos leitores do blog, quando calculássemos a mediana, a interpretação seria: 50% dos leitores do blog tem idade até o VALOR DA MEDIANA. Deu pra entender isso? A fórmula é um trambolho meio feio, mas dá pra gente ir sem maiores problemas:
Primeiro precisamos achar a posição da mediana (PMed), ou seja, em que classe a mediana estará, para isso, basta dividir o número de casos totais (a soma de todas frequências = N) por 2, já que a mediana se encontra no 50% (metade). A mediana se encontrará na classe que contenha a frequencia acumulada imediatamente superior à posição achada.
PMed = 23/2 = 11,5 → 3ª Classe
A Fómula da Mediana?
Med = Li + (PMed – faa/fi) x C
Sendo: Med = Mediana Li = Limite inferior da classe da Mediana (Limite inferior da 3ª Classe = 55) faa = Frequência Acumulada da Classe Anterior à classe da Mediana. (fa da 2ª classe = 7) fi = Frequência da Classe da Mediana (f da 3ª classe = 10) C = Amplitude da classe mediana. (as amplitudes de todas as classes nessa questão são iguais = a = 10)
Substituindo os dados que temos:
Med = 55 + (11,5 – 7/10) x 10 → 55 + 4,5/10 x 10 → 55 + 4,5 = 59,5
Media = 60 Mediana = 59,5
RESPOSTA LETRA D
PS: Como eu já disse algumas vezes, questões de cálculo tem diversas formas de resolver, sempre faço a forma que ajuda a resolver o maior número de questões.
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