56.(CESGRANRIO – TRANSPETRO – ADMINISTRADOR/2012)

Quantas  são  as  soluções  inteiras  e  não  negativas  da equação x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3? (A)   20 (B)   56 (C)   88 (D) 120 (E) 336

COMENTÁRIO

Existem uma fórmula que vi há bastante tempo e fui atrás aqui nas minhas anotações para fazer essa questão, mas eu sou a favor de não decorar mais do que as fórmulas básicas para resolver uma questão. Óbvio que com a fórmula você resolve a questão em menos tempo, porém o esforço que se gasta para decorar a fórmula eu, pessoalmente, prefiro gastar em estudos de outros assuntos, mas vamos às duas formas.

“FÓRMULA MÁGICA”

Quando queremos encontrar o número de soluções não negativas de uma equação como a de cima, fazemos uma combinação entre (número de termos da equação + resultado – 1) e o (número de termos- 1). Assim temos C(m + r – 1, m – 1)

r = 3 m = 6

C(6 + 3 – 1, 6 – 1) = C(8, 5) = 8!/(8-5)! 5!

= 8 x 7 x 6 x 5! / 3! x 5 = 8 x 7 x 6 / 6 = 56

Eis a resposta. Porém, na hora da prova eu nunca lembraria dessa fórmula, então preferi ir pelo que sei. A fórmula da combinação todo mundo tem que ter na cabeça, já que cai em quase toda prova, então apenas com ela e o resto é raciocínio.

FORMA 2 DE FAZER

A resposta tem que ser 3, umas das formas é que 3 dos termos sejam iguais a 1 (o restante sendo zero, por isso não o incluiremos e seguimos essa lógica), sendo assim temos uma combinação de 6 escolhendo 3 ( C(6,3) ) C(6,3) = 6! / (6 – 3)! x 3! = 20 possibilidades

ou

A resposta pode ser um termo sendo 2 e um termo sendo 1. Para o UM termo 2 C(6,1) = 6 Para o segundo termo ser 1, temos apenas 5 temos restantes C(5,1) = 5 Como tem que ser um E outro, multiplicamos e temos 30 possibilidades

ou

Um dos termos pode ser 3. Assim temos C(6,1) = 6

20 OU 30 OU 6.. trocamos o OU por soma, temos 30 + 20 + 6 = 56

RESPOSTA LETRA B