47. (CESGRANRIO – PETROBRAS – ADMINISTRADOR/2011)

Acima, tem-se o gráfico da função polinomial f(x) = a(x – b)(x – c)(x – d). O valor de a + b + c + d é

(A) 2 (B) 4 (C) 1/3 (D) 4/3 (E) 7/3

COMENTÁRIO

Questão de matemática pura e, relativamente, simples. Vamos resolver:

A questão nos dá a função f(x) = a(x-b)(x-c)(x-d)

De cara, já podemos dizer que a ≠ 0. Pois se a fosse 0, a função seria uma linha na altura zero.

Pela questão, sabemos que:

f(-2) = 0 f(0) = 2 f(1) = 0 f(3) = 0

Essas conclusões são tiradas do gráfico, lembrando que f(x) = Y.

Lembro também, que não precisamos saber exatamente quem é “a”, “b”, “c” e “d”, precisaremos saber somente a soma, nos dando a liberdade de tomá-los como qualquer valor, para fazer a função verdadeira, obviamente. Vamos às funções cujo resultado é zero.

F(-2) = 0. Isso nos diz que a(x-b)(x-c)(x-d) = 0. → a(-2-b)(-2-c)(-2-d) = 0

Para que isso seja verdadeiro, um dos fatores da multiplicação tem que ser 0. Já que a ≠ 0, podemos assumir que qualquer outro fator dessa multiplicação será zero, para que tudo seja igual a 0. Assumiremos então que (-2-b) = 0, para isso, em um cálculo simples, sabem que b = -2.

Faremos isso para todas as funções que sejam iguais a 0.

f(1) = 0 → a(1-b)(1-c)(1-d) = 0 →Agora assumiremos que (1-c) = 0, nos dando c = 1

f(3) = 0 → a(3-b)(3-c)(3-d) = 0 →Agora assumiremos que (3-d) = 0, nos dando d = 3

Já sabemos, “b”, “c” e “d”. Para descobrir a, basta substituir os valores na única função que nos resta;

f(0) = a(0-b)(0-c)(0-d) → a[0-(-2)] (0-1) (0-3) = 2 a(0+2)(-1)(-3) = 2 → 6a = 2 → a =²/6 ou ¹/3

Agora temos o seguinte: a = ¹/3 b = -2 c = 1 d = 3

Basta somar: -2 + 1 + 3 + ¹/3 → 2 + ¹/3 → 6 + 1/3 →7/3

RESPOSTA LETRA E

obs: O que eu acho legal na matemática é que existem diversas maneiras de se fazer a mesma coisa, todas elas corretas. Por isso, se alguém chegou ao resultado de outra maneira, não estranhem.

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